§ 113. Примеры решения задач по теме «Работа и мощность постоянного тока. Закон Ома для полной цепи» — ЕГЭ — 1 — стр. 373

Условие:
- Сопротивления резисторов: \( R_1 = 3 \, \text{Ом} \), \( R_2 = 12 \, \text{Ом} \)
- Мощность в резисторах одинакова: \( P_1 = P_2 \)

Решение:
Для каждого резистора мощность выражается как:
\( P = I^2 R \)
где \( I \) — сила тока через резистор.

Сила тока через первый резистор:
\( I_1 = \frac{E}{R_1 + r} \)

Сила тока через второй резистор:
\( I_2 = \frac{E}{R_2 + r} \)

Условие равенства мощностей:
\( P_1 = P_2 \implies I_1^2 R_1 = I_2^2 R_2 \)

Подставляем выражения для токов:
\( \left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2 \)

Сокращаем \( E^2 \) и извлекаем квадратный корень:
\( \frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2} \)

Решаем относительно \( r \):
\( R_1 (R_2 + r)^2 = R_2 (R_1 + r)^2 \)

Раскрываем скобки и приводим к уравнению:
\( R_1 (R_2^2 + 2R_2 r + r^2) = R_2 (R_1^2 + 2R_1 r + r^2) \)

После упрощений:
\( r = \sqrt{R_1 R_2} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6 \, \text{Ом} \)

Ответ: Внутреннее сопротивление источника \( r = 6 \, \text{Ом} \).