§ 113. Примеры решения задач по теме «Работа и мощность постоянного тока. Закон Ома для полной цепи» — ЕГЭ — 4 — стр. 373

Дано:
- Длина проводника: \( l = 10 \, \text{м} \);
- Разность потенциалов: \( U = 1 \, \text{В} \);
- Плотность меди: \( \rho = 8900 \, \text{кг/м}^3 \);
- Удельное сопротивление меди: \( \rho_\text{уд} = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} \);
- Удельная теплоёмкость меди: \( c = 380 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)} \);
- Повышение температуры: \( \Delta T = 10 \, \text{К} \).

Найти: время нагрева \( t \).

Решение:

Выражаем сопротивление проводника:
\(R = \rho_\text{уд} \frac{l}{S}, \)
где \( S \) — площадь поперечного сечения проводника.

Определим тепловую энергию:
Энергия, необходимая для нагрева проводника, равна:
\(Q = m c \Delta T, \)
где \( m \) — масса проводника.

Масса \( m \) выражается через плотность \( \rho \):
\(m = \rho V = \rho S l. \)
Тогда:
\(Q = \rho S l c \Delta T. \)

Определяем выделяемую мощность:
Согласно закону Джоуля-Ленца:
\(P = \frac{U^2}{R}. \)

Найдём время нагрева \( t \):
Из формулы мощности:
\(P = \frac{Q}{t}, \)

получаем:
\(t = \frac{Q}{P}.\)

Подставим выражения для \( Q \) и \( P \):
\(t = \frac{\rho S l c \Delta T}{\frac{U^2}{R}} = \frac{\rho S l c \Delta T \cdot R}{U^2}. \)

Подставим \( R \):
\(R = \rho_\text{уд} \frac{l}{S}. \)

Тогда:
\(t = \frac{\rho S l c \Delta T \cdot \rho_\text{уд} \frac{l}{S}}{U^2}. \)

Сократим \( S \):
\(t = \frac{\rho l^2 c \Delta T \rho_\text{уд}}{U^2}. \)

Подставляем численные значения:
\(t = \frac{8900 \cdot (10)^2 \cdot 380 \cdot 10 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8}}{1^2}.\)

Считаем:
\(t = \frac{8900 \cdot 100 \cdot 380 \cdot 10 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8}}{1} = 57.5 \, \text{с}.\)

Ответ: Проводник нагреется на \( 10 \, \text{К} \) за приблизительно \( 57.5 \, \text{с} \).