§ 113. Примеры решения задач по теме «Работа и мощность постоянного тока. Закон Ома для полной цепи» — ЕГЭ — 4 — стр. 373

Дано:
- Длина проводника: $l=10\text{м}$;
- Разность потенциалов: $U=1\text{В}$;
- Плотность меди: $\rho =8900{\text{кг/м}}^3$;
- Удельное сопротивление меди: ${\rho }_{\text{уд}}=1.7\cdot {10}^{-8}\text{Ом}\cdot \text{м}$;
- Удельная теплоёмкость меди: $c=380\text{Дж/(кг}\cdot \text{К)}$;
- Повышение температуры: $\mathrm{\Delta }T=10\text{К}$.

Найти: время нагрева $t$.

Решение:

Выражаем сопротивление проводника:
$R={\rho }_{\text{уд}}\frac{l}{S},$
где $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Определим тепловую энергию:
Энергия, необходимая для нагрева проводника, равна:
$Q=mc\mathrm{\Delta }T,$
где $m$ — масса проводника.

Масса $m$ выражается через плотность $\rho$:
$m=\rho V=\rho Sl.$
Тогда:
$Q=\rho Slc\mathrm{\Delta }T.$

Определяем выделяемую мощность:
Согласно закону Джоуля-Ленца:
$P=\frac{U^2}{R}.$

Найдём время нагрева $t$:
Из формулы мощности:
$P=\frac{Q}{t},$

получаем:
$t=\frac{Q}{P}.$

Подставим выражения для $Q$ и $P$:
$t=\frac{\rho Slc\mathrm{\Delta }T}{\frac{U^2}{R}}=\frac{\rho Slc\mathrm{\Delta }T\cdot R}{U^2}.$

Подставим $R$:
$R={\rho }_{\text{уд}}\frac{l}{S}.$

Тогда:
$t=\frac{\rho Slc\mathrm{\Delta }T\cdot {\rho }_{\text{уд}}\frac{l}{S}}{U^2}.$

Сократим $S$:
$t=\frac{\rho l^{2}c\mathrm{\Delta }T{\rho }_{\text{уд}}}{U^2}.$

Подставляем численные значения:
$t=\frac{8900\cdot (10{)}^2\cdot 380\cdot 10\cdot 1.7\cdot {10}^{-8}}{1^2}.$

Считаем:
$t=\frac{8900\cdot 100\cdot 380\cdot 10\cdot 1.7\cdot {10}^{-8}}{1}=57.5\text{с}.$

Ответ: Проводник нагреется на $10\text{К}$ за приблизительно $57.5\text{с}$.