§ 13. Движение с постоянным ускорением свободного падения — Вопросы в параграфе — 3 — стр. 50

Необходимо определить углы, при которых дальность и высота полёта будут максимальны, а также угол, при котором высота полёта будет равна дальности.

1. Для максимальной дальности полёта используем формулу:
$L=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$
Максимальное значение $\sin 2\alpha$ достигается при $\alpha ={45}^{\circ }$, так как $\sin {90}^{\circ }$ максимально.
Таким образом, дальность полёта будет максимальна при угле броска $\alpha ={45}^{\circ }$.

2. Для максимальной высоты полёта используем формулу:
$h=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$
Для максимальной высоты выражение ${\sin }^2\alpha$ будет максимальным при $\alpha ={76}^{\circ }$, так как $\tan \alpha =4$, что даёт $\sin \alpha \approx 0.98$.

3. Чтобы высота полёта была равна дальности, приравняем выражения для высоты и дальности:
$h=L.$
Это даёт условие:
$\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}.$
Упростив, получаем:
${\sin }^2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$
Перепишем как:
$\sin \alpha =2\cos \alpha .$
Следовательно, $\tan \alpha =4$, что даёт угол $\alpha \approx {76}^{\circ }$.

Итак, угол, при котором дальность полёта максимальна, равен ${45}^{\circ }$, угол для максимальной высоты ${76}^{\circ }$, а угол, при котором высота равна дальности, также составляет ${76}^{\circ }$.