§ 31. Первая космическая скорость — Вопросы в параграфе — 1 — стр. 100

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, с которой тело должно двигаться, чтобы находиться на круговой орбите вокруг Земли без применения двигателей.

Сила тяжести, действующая на спутник:
\(F_{\text{тяж}} = G \cdot \frac{M_{\text{Земля}} \cdot m}{R^2},\)
где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M_{\text{Земля}}\) — масса Земли, \(m\) — масса спутника, \(R\) — радиус орбиты.

Для движения по круговой орбите необходима центростремительная сила:
\(F_{\text{ц}} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}.\)

Приравнивая \(F_{\text{тяж}} = F_{\text{ц}}\):
\(G \cdot \frac{M_{\text{Земля}} \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}.\)
Упростим:
\(v_1^2 = G \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R}.\)

Ускорение свободного падения на поверхности Земли:
\(g = G \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R^2}.\)

Подставим \(g\) в уравнение для скорости:
\(v_1^2 = g \cdot R \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{g \cdot R}.\)

Ответ: формула \(v_1 = \sqrt{g \cdot R}\) доказана.