§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — ЕГЭ — 1 — стр. 104

Для определения радиуса кольца \(R\), на котором частицы движутся со скоростью \(v = 10 \, \text{км/с}\), используем формулу для первой космической скорости:
\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}},\)
где:
- \(v = 10 \, \text{км/с} = 10^4 \, \text{м/с}\),
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2\),
- \(M = 5,7 \cdot 10^{26} \, \text{кг}\),
- \(R\) — радиус, который нужно найти.

Шаг 1. Выразим радиус \(R\):
\(R = \frac{GM}{v^2}.\)

Шаг 2. Подставим значения:
\(R = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}7 \cdot 10^{26}}{(10^4)^2}.\)

Шаг 3. Выполним вычисления в числителе и знаменателе:
- Числитель:
\(6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}7 \cdot 10^{26} = 3{,}8019 \cdot 10^{16}.\)
- Знаменатель:
\((10^4)^2 = 10^8.\)

\(R = \frac{3{,}8019 \cdot 10^{16}}{10^8} = 3{,}8019 \cdot 10^8 \, \text{м}.\)

Шаг 4. Переведем в километры:
\(R = 3{,}8 \cdot 10^5 \, \text{км}.\)

Радиус кольца Сатурна, в котором частицы движутся со скоростью \(10 \, \text{км/с}\), составляет \(3{,}8 \cdot 10^5 \, \text{км}\).