§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — ЕГЭ — 4 — стр. 104

Первая космическая скорость определяется формулой:
\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.\)
Масса \(M\) планеты связана с её плотностью \(\rho\) и радиусом \(R\) так:
\(M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3.\)

Подставим \(M\) в формулу для первой космической скорости:
\(v = \sqrt{\frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{4 \pi G \rho}{3} \cdot R^2}.\)

Отсюда видно, что первая космическая скорость пропорциональна радиусу планеты, если плотность остаётся постоянной:
\(v \propto R.\)

Шаг 1. Определим отношение скоростей:
Если радиус новой планеты в 2 раза больше радиуса Земли (\(R_\text{п} = 2R_\text{з}\)), то:
\(\frac{v_\text{п}}{v_\text{з}} = \frac{R_\text{п}}{R_\text{з}} = 2.\)

Отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле равно 2:1.