§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — ЕГЭ — 5 — стр. 104

Для расчёта скорости используем формулу первой космической скорости:
\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}},\)
где \(R\) — радиус кольца, который можно выразить через период обращения \(T\):
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \quad \Rightarrow \quad R = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{\frac{1}{3}}.\)

Шаг 1. Переведём период обращения \(T\) в секунды:
Период \(T = 10 \, \text{ч} \, 40 \, \text{мин}\):
\(T = 10 \cdot 3600 + 40 \cdot 60 = 38400 \, \text{с}.\)

Шаг 2. Подставим значения в формулу для \(R\):
\(R = \left( \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}7 \cdot 10^{26} \cdot (38400)^2}{4\pi^2} \right)^{\frac{1}{3}}.\)

Выполним вычисления:
- \(GMT^2 = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}7 \cdot 10^{26} \cdot 1{,}4745 \cdot 10^9 \approx 5{,}62 \cdot 10^{26}\),
- \(4\pi^2 \approx 39{,}48\).

\(R \approx \left( \frac{5{,}62 \cdot 10^{26}}{39{,}48} \right)^{\frac{1}{3}} \approx \left( 1{,}423 \cdot 10^{25} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}12 \cdot 10^8 \, \text{м}.\)

Шаг 3. Найдём скорость:
\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}7 \cdot 10^{26}}{1{,}12 \cdot 10^8}}.\)

Выполним вычисления:
\(v \approx \sqrt{3{,}39 \cdot 10^8} \approx 1{,}84 \cdot 10^4 \, \text{м/с} = 18,4 \, \text{км/с}.\)

Скорость частиц, входящих в наиболее плотное кольцо Сатурна, составляет приблизительно \(18,4 \, \text{км/с}\).