§ 39. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» — Задачи для самостоятельного решения — 2 — стр. 129

Для решения задачи применим закон сохранения импульса. Исходно импульс системы (плот и человек) равен нулю, так как оба объекта двигались с известной скоростью.

Запишем закон сохранения импульса:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v\)

где:
- \( m_1 = 100 \) кг — масса плота,
- \( m_2 = 50 \) кг — масса человека,
- \( v_1 = 1 \) м/с — скорость плота,
- \( v_2 = 1,5 \) м/с — скорость человека, направленная перпендикулярно плоту.

После того как человек прыгнул на плот, они начинают двигаться с общей скоростью \( v \). Разделим движение на горизонтальную и вертикальную компоненты:

1. Горизонтальная компонента:

\(m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_x\)

Так как движение плота и человека вдоль берега остаётся без изменений, то горизонтальная скорость остаётся равной исходной скорости плота.

2. Вертикальная компонента:

\(m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_y\)

Это означает, что вертикальная скорость после того, как человек прыгнул на плот, равна вертикальной скорости прыжка человека.

Теперь найдём общую скорость \( v \) с помощью теоремы Пифагора, так как движения по осям \( x \) и \( y \) независимы:

\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

Подставим значения:

\(v_x = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} = \frac{100 \cdot 1}{100 + 50} = \frac{100}{150} = 0.67 \, \text{м/с}\)

\(v_y = \frac{m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2} = \frac{50 \cdot 1.5}{100 + 50} = \frac{75}{150} = 0.5 \, \text{м/с}\)

Теперь вычислим общую скорость:

\(v = \sqrt{(0.67)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.4489 + 0.25} = \sqrt{0.6989} \approx 0.837 \, \text{м/с}\)

Ответ: скорость плота с прыгнувшим на него человеком составляет около 0,83 м/с.