§ 45. Закон сохранения энергии в механике — ЕГЭ — 1 — стр. 148

Для решения используем закон сохранения механической энергии. На высоте \( h \) потенциальная энергия будет \( E_p = mgh \), а кинетическая энергия \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \).

На поверхности земли полная механическая энергия тела равна:

\(E_{\text{total}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2\)

где \( v_0 \) — скорость тела при броске.

На высоте 20 м полная механическая энергия будет:

\(E_{\text{total}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = 0 + mgh = mgh\)

Так как полная механическая энергия сохраняется, при достижении максимальной высоты \( h = 20 \, \text{м} \) имеем:

\(\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh\)

Из этого уравнения можно выразить скорость при броске:

\(v_0 = \sqrt{2gh}\)

Подставляем значения:

\(v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400} = 20 \, \text{м/с}\)

Теперь, на высоте 10 м, используя закон сохранения механической энергии, имеем:

\(\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh\)

где \( v \) — искомая скорость на высоте 10 м.

Подставим известные значения:

\(\frac{1}{2}m \cdot 20^2 = \frac{1}{2}m \cdot v^2 + mg \cdot 10\)

Упростим:

\(200 = \frac{1}{2}v^2 + 100\)

\(\frac{1}{2}v^2 = 100\)

\(v^2 = 200\)

\(v = \sqrt{200} \approx 14,14 \, \text{м/с}\)

Ответ: Скорость тела на высоте 10 м составляет примерно \( 14,14 \, \text{м/с} \).