§ 47. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» — Задачи для самостоятельного решения — 3 — стр. 154

Дано:
- Масса вагона \( m = 20000 \, \text{кг} \)
- Сжатие каждой пружины \( x = 10 \, \text{см} = 0,1 \, \text{м} \)
- Сила для сжатия пружины на 1 см \( F_{\text{пружины}} = 10000 \, \text{Н} \)
- Вагон имеет два буфера.

Решение:

1. Найдем потенциальную энергию, накопленную в буферах.

Потенциальная энергия упругости пружины определяется по формуле:
\(E_{\text{упр}} = \frac{1}{2} k x^2\)
где:
- \( k \) — жесткость пружины,
- \( x \) — сжатие пружины.

Для того чтобы найти жесткость \( k \), используем закон Гука:
\(F = k x\)
где \( F = 10000 \, \text{Н} \) — сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см.

Таким образом, жесткость пружины:
\(k = \frac{F}{x} = \frac{10000}{0,01} = 1000000 \, \text{Н/м}.\)

Теперь можем найти потенциальную энергию одной пружины:
\(E_{\text{упр,1}} = \frac{1}{2} \times 1000000 \times (0,1)^2 = 5000 \, \text{Дж}.\)

Поскольку в вагоне два буфера, общая энергия, накопленная в обоих буферах, составит:
\(E_{\text{упр,общ}} = 2 \times 5000 = 10000 \, \text{Дж}.\)

2. Найдем кинетическую энергию вагона перед столкновением.

Предполагаем, что вся кинетическая энергия вагона перед столкновением была преобразована в потенциальную энергию при сжатии пружин. Тогда кинетическая энергия вагона \( E_{\text{к}} \) равна энергии, накопленной в пружинах:
\(E_{\text{к}} = E_{\text{упр,общ}} = 10000 \, \text{Дж}.\)

3. Найдем скорость вагона перед столкновением.

Кинетическая энергия вагона выражается как:
\(E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2\)
где \( v \) — скорость вагона, \( m \) — его масса.

Подставим известные значения:
\(10000 = \frac{1}{2} \times 20000 \times v^2\)

Решим относительно \( v \):
\(v^2 = \frac{10000 \times 2}{20000} = 1\)
\(v = \sqrt{1} = 1 \, \text{м/с}.\)

Ответ:
Скорость вагона перед столкновением была \( 1 \, \text{м/с} \).