§ 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика» — Задачи для самостоятельного решения — 3 — стр. 184

Задача связана с действием силы Архимеда, которая изменяет растяжение пружины при погружении шарика в воду.

Дано:
- Растяжение пружины уменьшается в 1,5 раза при погружении шарика в воду.
- Пусть вес шарика в воздухе \( W_{\text{воздух}} \) вызывает растяжение пружины \( x \).
- После погружения в воду вес шарика уменьшается на величину силы Архимеда \( F_{\text{арх}} \), и растяжение пружины становится \( x' = \frac{x}{1,5} \).

Решение:

Вес шарика в воздухе:
Когда шарик подвешен в воздухе, его вес равен:

\( W_{\text{воздух}} = mg, \)

где \( m \) — масса шарика, \( g \) — ускорение свободного падения.

Вес шарика в воде:
После погружения в воду вес шарика уменьшается на величину силы Архимеда \( F_{\text{арх}} \), которая равна весу вытолкнутой водой жидкости. Таким образом, новый вес будет:

\( W_{\text{вода}} = W_{\text{воздух}} - F_{\text{арх}} = mg - F_{\text{арх}}. \)

Отношение растяжения пружины:
Поскольку растяжение пружины пропорционально приложенной силе, и в воде оно уменьшилось в 1,5 раза, то это означает, что сила, действующая на пружину, уменьшилась в 1,5 раза. Следовательно, отношение силы в воздухе к силе в воде равно 1,5:

\( \frac{W_{\text{воздух}}}{W_{\text{вода}}} = 1,5. \)

Подставим выражения для весов:
Подставим выражения для весов в это соотношение:

\( \frac{mg}{mg - F_{\text{арх}}} = 1,5. \)

Решим это уравнение для \( F_{\text{арх}} \):

\( mg = 1,5 \cdot (mg - F_{\text{арх}}), \)

\( mg = 1,5mg - 1,5F_{\text{арх}}, \)

\( 1,5F_{\text{арх}} = 0,5mg, \)

\( F_{\text{арх}} = \frac{0,5mg}{1,5} = \frac{mg}{3}. \)

Сила Архимеда:
Сила Архимеда равна весу вытолкнутой жидкости. Если \( V \) — объём шарика, а \( \rho_{\text{жидкость}} \) — плотность воды, то:

\( F_{\text{арх}} = \rho_{\text{жидкость}} g V. \)

Подставим \( F_{\text{арх}} = \frac{mg}{3} \):

\( \rho_{\text{жидкость}} g V = \frac{mg}{3}. \)

Объём шарика:
Масса шарика \( m \) и его объём \( V \) связаны через плотность материала шарика \( \rho_{\text{тело}} \):

\( m = \rho_{\text{тело}} V. \)

Подставим это выражение в уравнение для силы Архимеда:

\( \rho_{\text{жидкость}} g V = \frac{\rho_{\text{тело}} V g}{3}. \)

Решим для плотности материала шарика:
Упростим уравнение и решим для \( \rho_{\text{тело}} \):

\( \rho_{\text{жидкость}} = \frac{\rho_{\text{тело}}}{3}. \)

Плотность воды \( \rho_{\text{жидкость}} \) равна \( 1000 \, \text{кг/м}^3 \), поэтому:

\( 1000 = \frac{\rho_{\text{тело}}}{3}, \)

\( \rho_{\text{тело}} = 3000 \, \text{кг/м}^3. \)

Ответ:
Плотность материала шарика составляет 3000 кг/м³.