§ 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика» — Задачи для самостоятельного решения — 4 — стр. 184

Задача заключается в определении массы груза, который нужно положить на деревянный кубик, чтобы он полностью погрузился в воду. Для этого нужно учесть баланс сил, действующих на кубик, и использовать принцип Архимеда.

Дано:
- Ребро кубика \( a = 9 \, \text{см} = 0,09 \, \text{м} \).
- Кубик плавает в воде, и его погружённость составляет \( \frac{2}{3} \) от общего объёма.
- Плотность воды \( \rho_{\text{вода}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 \).

Решение:

Объём кубика:
Объём кубика можно найти по формуле для объёма куба:

\( V_{\text{куб}} = a^3 = (0,09)^3 = 0,000729 \, \text{м}^3. \)

Сила Архимеда при погружении на 2/3 объёма:
Когда кубик погружён на 2/3 своего объёма, сила Архимеда будет равна:

\( F_{\text{арх}} = \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot \frac{2}{3} V_{\text{куб}}, \)

где \( g \) — ускорение свободного падения, которое мы можем принять равным \( 9,8 \, \text{м/с}^2 \).

Подставим значения:

\( F_{\text{арх}} = 1000 \cdot 9,8 \cdot \frac{2}{3} \cdot 0,000729 = 4,77 \, \text{Н}. \)

Вес кубика:
Вес кубика равен:

\( W_{\text{куб}} = m_{\text{куб}} \cdot g = \rho_{\text{дерево}} \cdot V_{\text{куб}} \cdot g. \)

Для дерева плотность обычно составляет около \( \rho_{\text{дерево}} \approx 800 \, \text{кг/м}^3 \). Подставим это значение:

\( W_{\text{куб}} = 800 \cdot 0,000729 \cdot 9,8 = 5,72 \, \text{Н}. \)

Необходимая сила для полного погружения:
Для того чтобы кубик полностью погрузился в воду, сила Архимеда должна быть равна весу кубика плюс дополнительный груз:

\( F_{\text{арх}}' = W_{\text{куб}} + W_{\text{груз}}. \)

Сила Архимеда для полного погружения будет:

\( F_{\text{арх}}' = \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot V_{\text{куб}} = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,000729 = 7,13 \, \text{Н}. \)

Необходимая масса груза:
Для полного погружения кубика нужно, чтобы сила Архимеда стала равной 7,13 Н, а текущая сила Архимеда составляет 4,77 Н. Следовательно, необходимая сила для подъёма кубика из воды составляет:

\( W_{\text{груз}} = F_{\text{арх}}' - F_{\text{арх}} = 7,13 - 4,77 = 2,36 \, \text{Н}. \)

Теперь найдём массу груза:

\( W_{\text{груз}} = m_{\text{груз}} \cdot g, \)

\( m_{\text{груз}} = \frac{W_{\text{груз}}}{g} = \frac{2,36}{9,8} \approx 0,24 \, \text{кг}. \)

Ответ: Необходимая масса груза, чтобы полностью погрузить кубик в воду, составляет 0,24 кг.