§ 79. Внутренняя энергия — Вопросы в параграфе — 1 — стр. 263

Шаг 1: Внутренняя энергия одноатомного газа

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия состоит только из кинетической энергии молекул, так как молекулы не взаимодействуют между собой. Каждая молекула в идеальном газе имеет кинетическую энергию, равную:

\(E_{\text{молекулы}} = \frac{3}{2} k_B T\)

где \( k_B \) — постоянная Больцмана, \( T \) — температура в кельвинах.

Общее количество молекул в газе пропорционально количеству вещества, выраженному в молях:

\(N = n \cdot N_A\)

где \( N_A \) — число Авогадро, \( n \) — количество вещества в молях.

Шаг 2: Общая внутренняя энергия

Общая внутренняя энергия газа \( U \) — это сумма кинетических энергий всех молекул газа:

\(U = N \cdot E_{\text{молекулы}} = N \cdot \frac{3}{2} k_B T\)

Используя выражение для \( N \), получаем:

\(U = n \cdot N_A \cdot \frac{3}{2} k_B T\).

Шаг 3: Замена постоянных

Теперь заметим, что \( k_B \cdot N_A = R \), где \( R \) — универсальная газовая постоянная. Тогда:

\(U = n \cdot \frac{3}{2} R T\).

Шаг 4: Использование массы газа

Для того чтобы выразить внутреннюю энергию через массу газа \( m \), мы можем воспользоваться следующим соотношением:

\(n = \frac{m}{M}\)

где \( m \) — масса газа, \( M \) — молекулярная масса газа. Подставляем это в выражение для \( U \):

\(U = \frac{m}{M} \cdot \frac{3}{2} R T\).