§ 81. Примеры решения задач по теме «Внутренняя энергия. Работа» — ЕГЭ — 2 — стр. 269

Шаг 1: Внутренняя энергия идеального одноатомного газа

Изменение внутренней энергии для идеального одноатомного газа при изменении температуры можно выразить как:

\(\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T,\)

где:

- \( n \) — количество вещества в моль,

- \( R = 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)} \) — универсальная газовая постоянная,

- \( \Delta T \) — изменение температуры.

Шаг 2: Используем уравнение состояния идеального газа

Для идеального газа уравнение состояния:

\(pV = nRT,\)

где:

- \( p \) — давление,

- \( V \) — объём,

- \( n \) — количество вещества (в моль),

- \( T \) — температура.

Так как объём \( V \) остаётся постоянным (сосуд с жёсткими стенками), то при изменении давления будет происходить изменение температуры.

Шаг 3: Вычисление изменения температуры

Из уравнения состояния для двух состояний газа:

\(p_1 V = nRT_1 \quad \text{и} \quad p_2 V = nRT_2,\)

где \( p_1 \) и \( p_2 \) — начальное и конечное давление, соответственно. Из этих уравнений можно выразить изменение температуры:

\(p_1 V = nRT_1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{p_1 V}{nR},\)

\(p_2 V = nRT_2 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{p_2 V}{nR}.\)

Изменение температуры:

\(\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{p_2 V}{nR} - \frac{p_1 V}{nR} = \frac{V}{nR} \Delta p\).

Шаг 4: Выражаем изменение внутренней энергии

Подставим выражение для \( \Delta T \) в формулу для изменения внутренней энергии:

\(\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} n R \times \frac{V}{nR} \Delta p = \frac{3}{2} V \Delta p\).

Шаг 5: Подставляем известные значения

Теперь подставим известные значения:

\(\Delta U = \frac{3}{2} \times 0,5 \, \text{м}^3 \times 4 \times 10^3 \, \text{Па} = 3 \times 10^3 \, \text{Дж} = 3 \, \text{кДж}\).