§ 92. Примеры решения задач по теме «Закон Кулона» — Задачи для самостоятельного решения — 5 — стр. 308

Дано:
- Длина нитей: \( L = 1 \, \text{м} \),
- Угол между нитями: \( \alpha = 60^\circ \),
- Диэлектрическая проницаемость масла: \( \varepsilon = 2,2 \),
- Заряд шариков: \( q = 9 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл} \),
- Найти массу шариков: \( m \, \text{(кг)} \).

Решение:

1. Сила Кулона (электростатическое взаимодействие):
Сила, с которой заряженные шарики отталкиваются:
\( F_x = \frac{k q^2}{\varepsilon r^2}, \quad \text{где} \, r = 2L \sin \frac{\alpha}{2}. \)

Подставим расстояние \( r \) между шариками:
\( F_x = \frac{k q^2}{\varepsilon (2L \sin \frac{\alpha}{2})^2}. \)

2. Второй закон Ньютона:
На каждый шарик действуют три силы:
- Сила тяжести: \( mg \),
- Сила натяжения нити \( T \),
- Горизонтальная электростатическая сила \( F_x \).

Уравнения равновесия:
\( OX: \, F_x - T \sin \frac{\alpha}{2} = 0, \)
\( OY: \, -mg + T \cos \frac{\alpha}{2} = 0. \)

Из первого уравнения:
\( T = \frac{F_x}{\sin \frac{\alpha}{2}}. \)

Подставим во второе:
\(
\frac{F_x}{\sin \frac{\alpha}{2}} \cos \frac{\alpha}{2} = mg.
\)

Упростим:
\( m = \frac{F_x}{g \tan \frac{\alpha}{2}}. \)

3. Подставим \( F_x \):
\( m = \frac{\frac{k q^2}{\varepsilon (2L \sin \frac{\alpha}{2})^2}}{g \tan \frac{\alpha}{2}}. \)

4. Вычисления:
Подставим значения:
- \( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \),
- \( q = 9 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл} \),
- \( \varepsilon = 2,2 \),
- \( L = 1 \, \text{м} \),
- \( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 \),
- \( \sin 30^\circ = 0,5 \), \( \tan 30^\circ = 0,577 \).

Сила Кулона:
\( F_x = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (9 \cdot 10^{-6})^2}{2,2 \cdot (2 \cdot 1 \cdot 0,5)^2}. \)

Вычислим числитель:
\( (9 \cdot 10^{-6})^2 = 81 \cdot 10^{-12} = 8,1 \cdot 10^{-11}, \)
\( 9 \cdot 10^9 \cdot 8,1 \cdot 10^{-11} = 72,9 \cdot 10^{-2} = 0,729. \)

Вычислим знаменатель:
\( 2,2 \cdot (2 \cdot 1 \cdot 0,5)^2 = 2,2 \cdot (1)^2 = 2,2. \)

\( F_x = \frac{0,729}{2,2} \approx 0,3314 \, \text{Н}. \)

Масса:
\( m = \frac{0,3314}{9,8 \cdot 0,577}. \)

Вычислим знаменатель:
\( 9,8 \cdot 0,577 \approx 5,655. \)

\( m \approx \frac{0,3314}{5,655} \approx 0,0586 \, \text{кг}. \)

Ответ:
Масса каждого шарика: \( m \approx 0,059 \, \text{кг} \) или \( 59 \, \text{г} \).