§ 1. Рациональные дроби и их свойства — 1. Рациональные выражения — 21 — стр. 10

Исходное выражение было упрощено следующим образом:
\(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}=\frac{18}{\left(4 x^{2}+4 x y+y^{2}\right)+9}=\frac{18}{(2 x+y)^{2}+9}\)
Минимальное значение знаменателя достигается при \((2 x+y)^{2}=0\), что соответствует случаю, когда \(2x+y=0\). Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 9.
Максимальное значение дроби равно \(\frac{18}{9}=2\) и достигается при минимальном значении знаменателя.
Теперь рассмотрим варианты: