§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными — 688 — стр. 161

Для начала рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases}7x + y = 8 \\x - y + 3 = 0\end{cases}\)

После решения системы получаем:

\(\begin{cases}y = -7x + 8 \\y = x + 3\end{cases}\)

Найдем наклоны прямых:

\(k_1 = -7, \quad k_2 = 1\)

Так как наклоны не равны, прямые пересекаются, система имеет единственное решение.

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases}6 y - 4 x = 7 \\ 8 x - 1 2 y = - 1 4 \end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases}y = \frac { 4 x + 7 } { 6 } \\ y = \frac { 8 x + 1 4 } { 1 2 } \end{cases}\)

После решения системы получаем:

\(\begin{cases}y=\frac{2}{3} x+\frac{7}{6} \\y=\frac{2}{3} x+\frac{7}{6}\end{cases}\)

Найдем наклоны прямых:

\(k_1=k_2=\frac{2}{3}, \quad b_1=b_2=\frac{7}{6}\)

Прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases}x - 2y = 6 \\y = -4x\end{cases}\)

После решения системы получаем:

\(\begin{cases}y = \frac{x - 6}{2} \\y = -4x\end{cases}\)

Упростим уравнения:

\(\begin{cases}y = \frac{1}{2}x - 3 \\y = -4x\end{cases}\)

Найдем наклоны прямых:

\(k_1 = \frac{1}{2}, \quad k_2 = -4\)

Так как наклоны не равны, прямые пересекаются, система имеет единственное решение.