§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 706 — стр. 168

\(\begin{cases}y-2 x=2 \\ 5 x^2-y=1\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=2 x+2 \\ 5 x^2-(2 x+2)=1\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=2 x+2 \\ 5 x^2-2 x-3=0\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases}y=2 x+2 \\ (5 x+3)(x-1)=0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-0,6 \\ x=1 \end{cases}\\ y=2 x+2\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-0,6 \\ y=-1,2+2=0,8\end{cases} \\ \begin{cases}x=1 \\ y=2+2=4\end{cases}\end{cases} \)

\( \{(-0,6 ; 0,8),(1 ; 4)\}\).

\(\begin{cases}x-2 y^2=2 \\ 3 x+y=7\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x-2(7-3 x)^2=2 \\ y=7-3 x\end{cases} \\ x-2(49-42 x+9 x^2)-2=0 \\ x-98+84 x-18 x^2-2=0 \\ 18 x^2-85 x+100=0 \quad \mid: 5 \\ 3,6 x^2-17 x+20=0 \\ D=(-17)^2-4 \cdot 3,6 \cdot 20=289-288=1 \\ x=\frac{17 \pm 1}{7,2}=\begin{cases}\frac{16}{7,2}=\frac{80}{36}=\frac{20}{9}=2 \frac{2}{9} \\ \frac{18}{7,2}=\frac{90}{36}=\frac{5}{2}=2,5\end{cases} \)

\(\begin{cases}\begin{cases}x=2 \frac{2}{9} \\ x=2,5\end{cases} \\ y=7-3 x\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=2 \frac{2}{9} \\ y=7-\frac{20}{3}=\frac{1}{3}\end{cases} \\ \begin{cases}x=2,5 \\ y=7-7,5=-0,5\end{cases}\end{cases} \)

\( \{(2 \frac{2}{9} ; \frac{1}{3}),(2,5 ;-0,5)\}\).

\( \begin{cases}3 x^2-2 y=1 \mid \times 2 \\ 2 x^2-y^2=1 \mid \times 3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}6 x^2-4 y=2 \\ 6 x^2-3 y^2=3\end{cases} \Rightarrow\)

\( \Rightarrow\begin{cases}-4 y+3 y^2=2-3 \\ 3 x^2=1+2 y\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}3 y^2-4 y+1=0 \\ x^2=\frac{1+2 y}{3}\end{cases} \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \begin{cases}(3 y-1)(y-1)=0 \\ x^2=\frac{1+2 y}{3}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=\frac{1+2 y}{3} \\ \begin{cases}y=\frac{1}{3} \\ y=1\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x^2=\frac{1+\frac{2}{3}}{3}=\frac{5}{9} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases} \\ \begin{cases}x^2=\frac{1+2}{3}=1 \\ y=1\end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{\sqrt{5}}{3} \\ y=\frac{1}{3}\end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}}{3} \\ y=\frac{1}{3}\end{cases} \\ \begin{cases}x=-1 \\ y=1 \end{cases}\\ \begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}\end{cases} \)

\( \{(-\frac{\sqrt{5}}{3} ; \frac{1}{3}),(\frac{\sqrt{5}}{3} ; \frac{1}{3}),(-1 ; 1),(1 ; 1)\} \).

\(\begin{cases}3 x^2+2 y^2=11 \\ x+2 y=3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}3 x^2+2 y^2=11 \\ x=3-2 y\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases}3(3-2 y)^2+2 y^2=11 \\ x=3-2 y\end{cases} \)

\(3(9-12 y+4 y^2)+2 y^2=11 \\ 27-36 y+12 y^2+2 y^2-11=0 \\ 14 y^2-36 y+16=0 \quad \mid: 2 \)

\( 7 y^2-18 y+8=0 \Rightarrow (7 y-4)(y-2)=0 \Rightarrow\begin{cases}y=\frac{4}{7} \\ y=2\end{cases} \)

\(\begin{cases}x=3-2 y \\ \begin{cases}y=\frac{4}{7} \\ y=2\end{cases}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=3-\frac{8}{7}=\frac{13}{7}=1 \frac{6}{7} \\ y=\frac{4}{7}\end{cases} \\ \begin{cases}x=3-4=-1 \\ y=2\end{cases}\end{cases} \)

\( \{(1 \frac{6}{7} ; \frac{4}{7}),(-1 ; 2)\} \).

\(\begin{cases}x^2+y^2=100 \\ 3 x=4 y\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(\frac{4}{3} y)^2+y^2=100 \\ x=\frac{4}{3} y\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\frac{25}{9} y^2=100 \\ x=\frac{4}{3} y\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases}y^2=100 \cdot \frac{9}{25}=36 \\ x=\frac{4}{3} y\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\frac{4}{3} y \\ y= \pm 6\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=\frac{4}{3} \cdot(-6)=-8 \\ y=-6\end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{4}{3} \cdot 6=8 \\ y=6\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(-8 ;-6),(8 ; 6)\} \).

\( \begin{cases}2 x^2-y^2=32 \\ 2 x-y=8\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}2 x^2-(2 x-8)^2=32 \\ y=2 x-8\end{cases} \\ 2 x^2-(4 x^2-32 x+64)-32=0 \\ -2 x^2+32 x-96=0 \mid:(-2) \\ x^2-16 x+48=0 \Rightarrow(x-4)(x-12)=0 \Rightarrow\begin{cases}x=4 \\ x=12\end{cases} \\ \begin{cases}\begin{cases}x=4 \\ x=12 \end{cases}\\ y=2 x-8\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=4 \\ y=8-8=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=12\\x 4-8=16\end{cases}\end{cases} \)

\( \{(4 ; 0),(12 ; 16)\} \).