§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 707 — стр. 168

\( \begin{cases}2 x^2+y^2=9 \\ x^2-y^2=3\end{cases} \stackrel{\oplus}{\Rightarrow}\begin{cases}3 x^2=9+3 \\ y^2=x^2-3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^2=4 \\ y^2=4-3=1\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases}|x|=2 \\ |y|=1\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases} \\ \begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases} \end{cases}\)

\(\{(-2 ;-1),(-2 ; 1),(2 ;-1),(2 ; 1)\} \).

\(\begin{cases}2 x^2-x y=33 \\ 4 x-y=17\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}2 x^2-x(4 x-17)=33 \\ y=4 x-17\end{cases} \)

\(2 x^2-4 x^2+17 x-33=0 \\ 2 x^2-17 x+33=0 \Rightarrow(2 x-11)(x-3)=0 \Rightarrow\begin{cases}x=5,5 \\ x=3\end{cases} \)

\( \begin{cases}\begin{cases}x=5,5 \\ x=3 \end{cases}\\ y=4 x-17\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=5,5 \\ y=22-17=5 \end{cases} \\ \begin{cases}x=3 \\ y=12-17=-5\end{cases}\end{cases}\)

\(\{(5,5 ; 5),(3 ;-5)\}\).

\(\begin{cases} 3 x ^ { 2 } - 2 y = 1 | \times 2 \\ 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1 | \times 3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}6 x^2-4 y=2 \\6 x^2-3 y^2=3\end{cases} \stackrel{\ominus}{\Rightarrow}\)

\(\Rightarrow\begin{cases} - 4 y + 3 y ^ { 2 } = 2 - 3 \\3 x ^ { 2 } = 1 + 2 y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 y^2-4 y+1=0 \\x^2=\frac{1+2 y}{3}\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow\begin{cases}( 3 y - 1 ) ( y - 1 ) = 0 \\ x ^ { 2 } = \frac { 1 + 2 y } { 3 }\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=\frac{1+2 y}{3} \\\begin{cases}y=\frac{1}{3}\\y=1\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x ^ { 2 } = \frac { 1 + \frac { 2 } { 3 } } { 3 } = \frac { 5 } { 9 } \\ y = \frac { 1 } { 3 } \end{cases} \\ \begin{cases} x^2=\frac{1+2}{3}=1\\y=1\end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x = - \frac { \sqrt { 5 } } { 3 }\\y = \frac { 1 } { 3 } \end{cases} \\\begin{cases} x = \frac { \sqrt { 5 } } { 3 }\\y = \frac { 1 } { 3 }\end{cases}\\\begin{cases}x=-1\\y = 1 \end{cases} \\ \begin{cases}x=1 \\y=1\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(-\frac{\sqrt{5}}{3} ; \frac{1}{3}),\frac{\sqrt{5}}{3} ; \frac{1}{3}),(-1 ; 1),(1 ; 1)\} \).

\(\begin{cases}x - y - 4 = 0 \\ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 8 , 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=x-4 \\x^2+(x-4)^2=8,5 \end{cases} \)

\(x^2+x^2-8x+16-8.5=0\\ 2 x^2-8 x+7,5=0 \mid: 2\)

\(x^2-4 x+\frac{15}{4}=0 \Rightarrow(x-\frac{3}{2})(x-\frac{5}{2})=0 \Rightarrow\begin{cases}x=1,5 \\x=2,5\end{cases} \)

\(\begin{cases} \begin{cases} x = 1 , 5 \\ x = 2 , 5 \end{cases}\\ y = x - 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=1,5 \\y=1,5-4=-2,5\end{cases}\\\begin{cases}x=2,5 \\y=2,5-4=-1,5\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(1,5 ;-2,5),(2,5 ;-1,5)\}\).

\(\begin{cases}x^2+4 y=10 \\ x-2 y=-5 \mid \times 2\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^2+4 y=10 \\ 2 x-4 y=-10\end{cases} \stackrel{\oplus}{\Rightarrow}\)

\(\Rightarrow\begin{cases} x ^ { 2 } + 2 x = 1 0 - 1 0 \\ y = \frac { x + 5 } { 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x ( x + 2 ) = 0 \\ y = \frac { x + 5 } { 2 } \end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-2 \\x=0 \end{cases}\\y=\frac{x+5}{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-2 \\y=\frac{-2+5}{2}=1,5\end{cases} \\\begin{cases}x=0 \\y=\frac{0+5}{2}=2,5\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(-2 ; 1,5),(0 ; 2,5)\}\).

\(\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 5 x y + y ^ { 2 } = 1 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=2 y-1 \\5(2 y-1) y+y^2=16\end{cases}\)

\(10 y^2-5 y+y^2-16=0 \\11 y^2-5 y-16=0 \Rightarrow(y+1)(11 y-16)=0\Rightarrow\begin{cases}y=-1 \\y=\frac{16}{11}\end{cases} \)

\(\begin{cases} x = 2 y - 1 \\\begin{cases} y = - 1 \\ y = \frac { 1 6 } { 1 1 } \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-2-1=-3 \\y=-1\end{cases} \\\begin{cases}x=\frac{32}{11}-1=\frac{21}{11} \\y=\frac{16}{11}\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(-3 ;-1),(\frac{21}{11} ; \frac{16}{11})\} \).