§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 708 — стр. 168

\(\begin{cases} 2 x + 4 y = 5 ( x - y ) \\ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 6 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}2 x-5 x=-5 y-4 y \\x^2-y^2=6\end{cases}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\begin{cases} - 3 x = - 9 y \\ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 6 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x = 3 y \\ ( 3 y ) ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 6 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=3 y \\8 y^2=6\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \begin{cases} x=3y \\ y ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} x = 3 y \\ y = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \\y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\\\begin{cases}x = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \\ y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }\end{cases}\end{cases}\)

\((-\frac{3 \sqrt{3}}{2} ;-\frac{\sqrt{3}}{2}),(\frac{3 \sqrt{3}}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2})\).

\(\begin{cases}u-v=6(u+v) \\ u^{2}-v^{2}=6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}u-v=6(u+v) \\ (u-v)(u+v)=6\end{cases}\)

Заменяем \(\begin{cases}a=u+v \\ b=u-v\end{cases} \)

\(\begin{cases}b=6 a \\ a b=6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b=6 a \\ a \cdot 6 a=6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b=6 a \\ a^{2}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} b=6 a \\ a= \pm1\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}a=-1 \\ b=-6\end{cases} \\ \begin{cases}a=1 \\ b=6\end{cases}\end{cases}\)

Вернемся к исходным переменным

\(\begin{cases}\begin{cases} u + v = - 1 \\ u - v = - 6 \end{cases}\\ \begin{cases} u + v = 1 \\u - v = 6 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} 2 u = - 1 - 6 \\ 2 v = - 1 + 6 \end{cases} \\ \begin{cases} 2 u = 1 + 6 \\2 v = 1 - 6 \end{cases}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}u=-3,5 \\v=2,5\end{cases}\\\begin{cases}u=3,5 \\v=-2,5\end{cases}\end{cases}\)

\(\{(-3,5 ; 2,5),(3,5 ;-2,5)\} \).