§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 33. Уравнения с параметром — 736 — стр. 174

Дано уравнение \(2x^2 - 4x + b = 0\).

Найдем дискриминант \(D = 2^2 - 2b = 4(1 - \frac{b}{2})\). Дискриминант должен быть неотрицательным для того, чтобы у уравнения были действительные корни: \(D \geq 0\).

Далее, найдем корни уравнения по формуле \(x_{1,2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - \frac{b}{2}}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{b}{2}}\).

Теперь рассмотрим значения \(b\) и соответствующие им случаи:
- Если \(b = 2\), то \(D = 0\). Уравнение имеет один корень \(x = 1\).
- Если \(b > 2\), то \(D < 0\). Уравнение не имеет действительных корней \(\emptyset\).
- Если \(b < 2\), то \(D > 0\). Уравнение имеет два действительных корня \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{b}{2}}\).

Таким образом, в зависимости от значения \(b\) у нас может быть один корень \(b = 2\), ноль корней \(b > 2\), или два корня \(b < 2\).