§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 34. Числовые неравенства — 847 — стр. 189

Дано неравенство: \(\frac{a+2}{a} - 2 \geq 2 - \frac{a+2}{2}\).

Выполним вычисления:
\(\frac{a+2}{a} - 2 - (2 - \frac{a+2}{2}) =\)
\(= \frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2}=\)
\(= \frac{2(a+2) - 4 \cdot 2a + a(a+2)}{2a} =\)
\(= \frac{2a + 4 - 8a + a^2 + 2a}{2a} =\)
\(= \frac{a^2 - 4a + 4}{2a}=\)
\(= \frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0, \text{ т.к. } a > 0 \text{ и } (a-2)^2 \geq 0\)
Таким образом, неравенство верно при \(a > 0\), так как \(\frac{(a-2)^2}{2a}\) является неотрицательным выражением.