§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 34. Числовые неравенства — 848 — стр. 189

Пусть \( x \) - число, а \( \frac{1}{x} \) - его обратное число. Нам нужно доказать, что \( x + \frac{1}{x} \geq 2 \).

Выполним вычисления:
\( x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 + x - 2x}{x} = \frac{x^2 - x}{x} = \frac{x(x - 1)}{x} \)
Так как \( x > 0 \), то \( x(x-1) \geq 0 \). Следовательно, \( \frac{x(x-1)}{x} \geq 0 \), и, как результат, \( x + \frac{1}{x} - 2 \geq 0 \). Это означает, что \( x + \frac{1}{x} \geq 2 \) доказано.