§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 34. Числовые неравенства — 849 — стр. 189

Для первого неравенства \( \frac{c^2 + 1}{2} \geq c \):

Выполним вычисления:

\( \frac{c^2 + 1}{2} - c = \frac{c^2 + 1 - 2c}{2} = \frac{c^2 - 2c + 1}{2} = \frac{(c - 1)^2}{2} \)

Поскольку \( (c - 1)^2 \geq 0 \), то \( \frac{(c - 1)^2}{2} \geq 0 \). Таким образом, \( \frac{c^2 + 1}{2} - c \geq 0 \) и \( \frac{c^2 + 1}{2} \geq c \) доказано.

Для второго неравенства \( \frac{c}{c^2 + 1} \leq \frac{1}{2} \):

\( \frac{c}{c^2 + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2c - (c^2 + 1)}{2(c^2 + 1)} = \frac{2c - c^2 - 1}{2(c^2 + 1)} = \frac{-(c^2 - 2c + 1)}{2(c^2 + 1)} = \frac{-(c - 1)^2}{2(c^2 + 1)} \)

Так как \( (c - 1)^2 \geq 0 \) и \( 2(c^2 + 1) > 0 \), то \( \frac{-(c - 1)^2}{2(c^2 + 1)} \leq 0 \). Значит, \( \frac{c}{c^2 + 1} - \frac{1}{2} \leq 0 \), что влечет \( \frac{c}{c^2 + 1} \leq \frac{1}{2} \) доказано.