Алгебра
2024
(Для работы в парах.) Докажите, что если \(a\) и \(b-\) положительные числа и \(a^{2}>b^{2}\), то \(a>b\). Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) \(\sqrt{6}+\sqrt{3}\) и \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\);
б) \(\sqrt{3}+2\) и \(\sqrt{6}+1\);
в) \(\sqrt{5}-2\) и \(\sqrt{6}-\sqrt{3}\);
г) \(\sqrt{10}-\sqrt{7}\) и \(\sqrt{11}-\sqrt{6}\).
1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
Дано, что \(a, b > 0\) и \(a^2 > b^2\). Из условия \(a^2 > b^2\) следует \(a^2 - b^2 > 0\), что приводит к \((a - b)(a + b) > 0\). Учитывая, что \(a, b > 0\), можно заключить, что \(a + b > 0\) и \(a - b > 0\), откуда следует, что \(a > b\).
а
\((\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{2})\):
Раскрываем скобки:
\((\sqrt{6})^2 + 2 \sqrt{6} \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - ((\sqrt{7})^2 + 2 \sqrt{7} \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)\)
\(= 6 + 2 \sqrt{18} + 3 - (7 + 2 \sqrt{14} + 2)\)
\(= 9 + 2 \sqrt{18} - 9 - 2 \sqrt{14} = 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{14} > 0\)
Таким образом, \(\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}\).
б
\((\sqrt{3} + 2)^2 - (\sqrt{6} + 1)^2\):
Раскрываем скобки:
\((\sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 - ((\sqrt{6})^2 + 2 \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2)\)
\(= 3 + 4 \sqrt{3} + 4 - (6 + 2 \sqrt{6} + 1)\)
\(= 7 + 4 \sqrt{3} - 7 - 2 \sqrt{6} = 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{6}= \sqrt{48} - \sqrt{24} > 0\).
в
\((\sqrt{5} - 2)^2 - (\sqrt{6} - \sqrt{3})^2\):
Раскрываем скобки:
\((\sqrt{5})^2 - 2 \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 - ((\sqrt{6})^2 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)\)
\(= 5 - 4 \sqrt{5} + 4 - (6 - 2 \sqrt{18} + 3)\)
\(= 9 - 4 \sqrt{5} - 9 + 2 \sqrt{18} = -4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{18} < 0\).
г
\((\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 - (\sqrt{11} - \sqrt{6})\):
Раскрываем скобки:
\((\sqrt{10})^2 - 2 \sqrt{10} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 - ((\sqrt{11})^2 - 2 \sqrt{11} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2)\)
\(= 10 - 2 \sqrt{70} + 7 - (11 - 2 \sqrt{66} + 6)\)
\(= 17 - 2 \sqrt{70} - 17 + 2 \sqrt{66} = -2 \sqrt{70} + 2 \sqrt{66} < 0\)
Итак, \(\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Для работы в парах.) Докажите, что если \(a\) и \(b-\) положительные числа и \(a^{2}>b^{2}\), то \(a>b\). Пользуясь этим свойством, сравните числа: а) \(\sqrt{6}+\sqrt{3}\) и \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\); б) \(\sqrt{3}+2\) и \(\sqrt{6}+1\); в) \(\sqrt{5}-2\) и \(\sqrt{6}-\sqrt{3}\); г) \(\sqrt{10}-\sqrt{7}\) и \(\sqrt{11}-\sqrt{6}\). 1) Проведите доказательство приведённого утверждения. 2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
