§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 34. Числовые неравенства — 853 — стр. 189

Дано, что \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\). Мы должны доказать, что \(\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\).

Мы начнем с разности квадратов \((\frac{a+b}{2})^2 - (\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2\).

Вычислим:
\((\frac{a+b}{2})^2 - (\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2 =\)
\(= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - \frac{a^2 + b^2}{2} =\)
\(= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 2b^2}{4} =\)
\(= \frac{-a^2 + 2ab - b^2}{4} =\)
\(= \frac{-(a - b)^2}{4} \leq 0\)

Таким образом, получаем, что \(\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\).
Утверждение доказано.