§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 35. Свойства числовых неравенств — 876 — стр. 194

Для \(\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}\): Применим свойство корня \(\sqrt{2} > 1\), а \(\sqrt{5} < 3\), тогда \(\sqrt{2} + 5 > 6 > 2 + \sqrt{5}\).

Для \(\sqrt{3} - 4\) и \(1 - \sqrt{5}\): Мы знаем, что \(\sqrt{3} < 2\) и \(-\sqrt{5} > -3\), следовательно, \(\sqrt{3} - 4 < -2\) и \(-\sqrt{5} + 1 > -2\), так что \(\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}\).

Для \(\frac{2\sqrt{3} + 23}{3}\) и \(9\): Умножив обе части на \(3\), мы получаем \(2\sqrt{3} + 23\) и \(27\). Вычитая \(23\), получаем \(2\sqrt{3}\) и \(4\). Возводя в квадрат, получаем \(12 < 16\), следовательно, \(\frac{2\sqrt{3} + 23}{3} < 9\).

Для \(\frac{1 - \sqrt{15}}{12}\) и \(-\frac{7}{8}\): Умножив на \(24\), получаем \(2 - 2\sqrt{15}\) и \(-21\). Вычитая \(2\), получаем \(-2\sqrt{15}\) и \(-23\). Так как \(-\sqrt{60} > -\sqrt{529}\), то \(\frac{1 - \sqrt{15}}{12} > -\frac{7}{8}\).