Инновационная школа
2017
(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при \(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\) верно неравенство:
a) \((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8 a b c\);
б) \(\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq a b c\).
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел \(a\) и \(b\).
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто - неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
а
\((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8 a b c\)
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\) и \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\)
\(\sqrt{bc} \leq \frac{b+c}{2}\) и \(b+c \geq 2\sqrt{bc}\)
\(\sqrt{ac} \leq \frac{a+c}{2}\) и \(a+c \geq 2\sqrt{ac}\)
Перемножим эти неравенства:
\( (a+b)(b+c)(a+c) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac}\)
Получим:
\( (a+b)(b+c)(a+c) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2}\)
Извлечем корень:
\( (a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc\).
б
\(\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq a b c\)
\(\frac{a+1}{2} \geq \sqrt{a\cdot 1}\) и \(a+1 \geq 2\sqrt{a}\)
\(\frac{b+1}{2} \geq \sqrt{b\cdot 1}\) и \(b+1 \geq 2\sqrt{b}\)
\(\frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}\) и \(a+c \geq 2\sqrt{ac}\)
\(\frac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}\) и \(b+c \geq 2\sqrt{bc}\)
Перемножим неравенства:
\( (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \geq 16\sqrt{aabbcc}\)
Получим:
\( (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \geq 16abc\).
Оба неравенства были доказаны с использованием основных свойств неравенств, таких как умножение и деление на положительные числа. Данное решение подчеркивает применение этих свойств для достижения требуемых результатов.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при \(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\) верно неравенство: a) \((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8 a b c\); б) \(\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq a b c\). 1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел \(a\) и \(b\). 2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто - неравенства б). Проведите доказательство. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
