§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 1001 — стр. 223

Мы имеем выражение \(\frac{9n^2 + 12n + 12}{n}\), которое можно разложить на сумму:
\(\frac{9n^2}{n} + \frac{12n}{n} + \frac{12}{n} = 9n + 12 + \frac{12}{n}\)

При любых натуральных значениях \(n\), сумма \(9n + 12\) является натуральным числом.

Дробь \(\frac{12}{n}\) будет натуральным числом только в том случае, если \(n\) делит \(12\) без остатка. Таким образом, нам нужно рассмотреть, при каких натуральных значениях \(n\), \(12\) делится на \(n\) без остатка.

Это будет выполнено при \(n = 1, 2, 3, 4, 6, 12\), так как \(12\) делится на каждое из этих чисел без остатка.

Следовательно, ответ: при \(n = 1, 2, 3, 4, 6, 12\).