§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 989 — стр. 221

Рассмотрим систему неравенств:

\( \begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{x}{4}<7\\1-\frac{x}{6}>0\end{cases}\)

Преобразуем её:

\(\begin{cases} 4x+3x<7 \cdot 12\\6-x>0 \cdot 6\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} 7x<84\\-x>-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<12\\x < 6\end{cases}\)

Решая эти неравенства, получаем \(x<12\) и \(x<6\). Таким образом, \(x\) должно быть меньше 6.

Ответ: \(x \in (-\infty, 6)\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\begin{cases}y-\frac{y-1}{2}>1 \\ \frac{y}{3}<5\end{cases}\)

Преобразуем её:

\(\begin{cases}2y-(y-1)>1\cdot2 \\ y<15\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} 2y-y+1>2\Rightarrow y> 1\\y<15\end{cases}\)

Учитывая оба неравенства, получаем \(y \in (1, 15)\).

Рассмотрим систему:

\(\begin{cases} \frac{3x-1}{2}-x \leq 2\\2x-\frac{x}{3} \geq 1\end{cases}\)

Преобразуем:

\(\begin{cases} 3x-1-2x \leq 4\\6x-x \geq 3\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} x \leq 5\\x \geq 0,6\end{cases}\)

Учитывая оба неравенства, получаем \(x \in [0,6 ; 5]\).

Рассмотрим систему:

\(\begin{cases} 2p - \frac{p - 2}{5} > 4\\\frac{p}{2} - \frac{p}{8} \leq 6\end{cases}\)

Преобразуем её:

\(\begin{cases} 10p - (p - 2) > 20\\4p - p \leq 6\cdot8\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} 10p - p + 2 > 20\\3p \leq 48\end{cases}\)

Это приводит к:

\(\begin{cases}9p > 18 \Rightarrow p > 2\\p \leq 16\end{cases}\)

Cледовательно, \(p \in (2 ; 16]\).