§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 990 — стр. 221

Рассмотрим систему неравенств:

\(\begin{cases}\frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{3}<2 \\ \frac{13 x-1}{2}>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}3(x-1)-2(x-3)<2\cdot6 \\ 13 x-1>0\cdot2\end{cases}\)

Далее преобразуем:

\(\begin{cases} 3x - 3 - 2x + 6 < 12\\13x > 1\end{cases}\)

Это приводит к:

\(\begin{cases} x < 12 - 6 + 3\\x > \frac{1}{13}\end{cases}\)

Это дает нам:

\(\begin{cases}x < 9\\x > \frac{1}{13}\end{cases}\)

Таким образом, решение \(x\) находится в интервале \((\frac{1}{13} ; 9)\).

Рассмотрим систему:

\(\begin{cases} \frac{3x + 1}{2} < -1\\\frac{x}{2} - 1 < x\end{cases}\)

Преобразуем:

\(\begin{cases} 3x + 1 < -1 \cdot 2\\x - 2x < 2\end{cases}\)

Это приводит к \(\begin{cases}3x < -3\\-x < 2\end{cases}\), что дает нам \(\begin{cases}x < -1\\x > -2\end{cases}\).

Следовательно, решение \(x\) находится в интервале \((-2 ; -1)\).

Рассмотрим систему:

\( \begin{cases}4 - \frac{y - 1}{3} \geq y\\\frac{7y - 1}{8} \geq 6\end{cases}\)

Это приводит к:

\( \begin{cases}12 - (y - 1) \geq 3y\\7y - 1 \geq 6\cdot8\end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} 12 - y +1 \geq 3y\\7y - 1 \geq 48\end{cases}\)

Далее:

\(\begin{cases} - y -3y \geq -1-12\\7y \geq 48+1\end{cases}\)

Это дает нам:

\(\begin{cases} -4y \geq -13 \\7y \geq 49 \end{cases}\), что соответствует системе: \(\begin{cases} y \geq 3.25\\y \geq 7\end{cases}\)

Решением этой системы будет \(y \leq 3,25\) и \(y \geq 7\), однако эти условия противоречат друг другу. Следовательно, решений нет.

Рассмотрим систему:

\(\begin{cases} \frac{5a + 8}{3} - a \geq 2a\\1 - \frac{6 - 15a}{4} \geq a\end{cases}\)

Преобразуем:

\(\begin{cases} 5a + 8-3a \geq 2a\cdot3\\4-(6-15a) \geq 4a\end{cases}\)

Далее:

\(\begin{cases} 2a + 8 \geq 6a\\4-6+15a \geq 4а\end{cases}\)

Это дает нам:

\(\begin{cases}2a - 6a \geq -8 \Rightarrow-4a\geq-8\\15a-4a \geq -4+6 \Rightarrow 11a\geq2\end{cases}\).

Решением будет:

\(\begin{cases}a \leq 2\\a \geq \frac{2}{11}\end{cases}\)

Это соответствует интервалу \([\frac{2}{11} ; 2]\).