§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 995 — стр. 222

Для начала найдем дискриминант квадратного уравнения \(x^2+2ax+a^2-4=0\):
\(\mathrm{D} = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4) =\)
\(= 4a^2 - 4a^2 + 16 =\)
\(= 16\)

Теперь найдем корни уравнения:
\(x = \frac{-2a \pm 4}{2 \cdot 1} = -a \pm 2\)

1) Рассмотрим неравенство \( -6 < -a + 2 < 6 \):
\( \begin{cases}-a + 2 < 6\\-a + 2 > -6\end{cases}\)
\( \begin{cases}-a < 4\\-a > -8\end{cases}\)

Отсюда получаем: \( a > -4 \) и \( a < 8 \). То есть \( a \in (-4 ; 8) \).

2) Рассмотрим неравенство \( -6 < -a - 2 < 6 \):
\(\begin{cases} -a - 2 < 6\\-a - 2 > -6\end{cases}\)
\(\begin{cases} -a < 8\\-a > -4\end{cases}\)

Отсюда получаем: \( a > -8 \) и \( a < 4 \). То есть \( a \in (-8 ; 4) \).

Таким образом, пересечение решений этих двух неравенств дает \( a \in (-4 ; 4) \).