§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 996 — стр. 222

Дано квадратное уравнение \(x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0\).

Для начала найдем дискриминант:
\(D = (-6b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9b^2 - 16) =\)
\(= 36b^2 - 36b^2 + 64 =\)
\(= 64\)

Теперь найдем корни уравнения:
\(b = \frac{6b \pm 8}{2} = 3b \pm 4\)

Рассмотрим неравенства:
\(\begin{cases}3b + 4 < 0\\3b - 4 < 0\end{cases}\)

Отсюда получаем:
\(\begin{cases}3b < -4\\3b < 4\end{cases}\)

Таким образом, \(b < -\frac{4}{3}\) и \(b < \frac{4}{3}\).

Ответ: \(b \in (-\infty, -1\frac{1}{3})\).