§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1004 — стр. 226

Нам необходимо доказать, что \(a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)\).

Рассмотрим выражение

\(a^2 + b^2 + 4 - 2(a + b + 1) = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0\)

Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны, выражение \((a - 1)^2 + (b - 1)^2\) всегда больше или равно нулю при любых значениях \(a\) и \(b\).

Следовательно, \(a^2 + b^2 + 4 - 2(a + b + 1) \geq 0\), что доказывает \(a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)\).

Теперь докажем, что \(4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2)\).

Рассмотрим выражение:

\(4a^2 + b^2 - 4(a + b - 2) = (4a^2 - 4a + 1) + (b^2 - 4b + 4) - 2 + 8 = (2a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 6 > 0\)

Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны, выражение \((2a - 1)^2 + (b - 2)^2\) всегда больше нуля при любых значениях \(a\) и \(b\).

Следовательно, \(4a^2 + b^2 - 4(a + b - 2) > 0\), что доказывает \(4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2)\).