§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1005 — стр. 226

У нас дано неравенство:

\(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Произведем его реструктуризацию:

\(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \)

\(= \frac{x \cdot x^2 + y\cdot y^2 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2}= \frac{x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2}\)

Затем, мы можем произвести факторизацию числителя:

\(\frac{x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2} =\frac{x^3 - x^2y +y^3- xy^2}{x^2y^2} = \frac{x^2(x - y) + y^2(y - x)}{x^2y^2} \)

\(= \frac{x^2(x - y) - y^2(x - y)}{x^2y^2} = \frac{(x - y)(x^2 - y^2)}{x^2y^2} \)

\(= \frac{(x - y)(x - y)(x + y)}{x^2y^2} = \frac{(x - y)^2(x + y)}{x^2y^2}\)

Заметим, что \((x - y)^2 \geq 0\), \((x + y) > 0\), и \(x^2y^2 > 0\), значит их произведение всегда неотрицательно. Таким образом, мы можем утверждать, что \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).

Нам предоставлено неравенство:

\(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y\)

Аналогично части (а), мы начинаем с перестройки выражения в левой части:

\(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} - (x + y) =\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} - x - y= \frac{x^2\cdot x + y^2\cdot y - x\cdot xy - y \cdot xy}{xy} \)

\(= \frac{x^3 + y^3 - x^2y - xy^2}{xy} = \frac{x^3 - x^2y+y^3 - xy^2}{xy}= \frac{x^2(x - y) + y^2(y - x)}{xy} \)

\(= \frac{x^2(x - y) - y^2(x - y)}{xy} = \frac{(x - y)(x^2 - y^2)}{xy} \)

\(= \frac{(x - y)(x - y)(x + y)}{xy} = \frac{(x - y)^2(x + y)}{xy}\)

Аналогично, учитывая те же факторы, мы утверждаем, что \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y\).