§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1006 — стр. 226

Для начала мы используем неравенство: \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\). Отсюда следует, что \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\).

Аналогично, мы используем неравенство: \(\frac{ab + 16}{2} \geq \sqrt{16ab}\), что дает нам \(ab + 16 \geq 2 \cdot 4 \sqrt{ab}\).

Путем перемножения этих неравенств мы получаем:

\((a+b)(ab+16) \geq (2\sqrt{ab})(2\cdot 4\sqrt{ab}) \)

\((a+b)(ab+16) \geq 16ab\)

Таким образом, неравенство \((a+b)(ab+16) \geq 16ab\) доказано.

Для начала, аналогично части (а), мы знаем, что: \(\frac{a^2+4b}{2} \geq \sqrt{a^2 \cdot 4b}\), что дает нам \(a^2 + 4b \geq 2 \cdot 2a\sqrt{b}\) и \(a^2 + 4b \geq 4a\sqrt{b}\).

Затем, мы применяем неравенство: \(\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{4b \cdot 25}\), что дает нам \(4b + 25 \geq 2 \cdot 2 \cdot 5 \sqrt{b}\) и \(4b + 25 \geq 20\sqrt{b}\).

Перемножив эти неравенства, мы получаем:

\((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq (4a\sqrt{b})(20\sqrt{b}) \).

\((a^2 + 4b)(4b + 25) \geq= 80ab\)

Таким образом, неравенство \((a^2+4 b)(4 b+25) \geq 80 a b\) доказано.