§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1008 — стр. 226

По условию \(x>0, y>0\)

\((\frac{x+y}{2})^3 \leq \frac{x^3+y^3}{2}\) - необходимо доказать
\(\frac{x^3+y^3}{2}-(\frac{x+y}{2})^3=\frac{x^3+y^3}{2}-\frac{x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3}{8}=\)
\(=\frac{4 x^3+4 y^3-x^3-3 x^2 y-3 x y^2-y^3}{8}\)

Далее мы сокращаем выражение и приводим его к виду:
\(\frac{3 x^3-3 x^2 y-3 x^2+3 y^3}{8}=\frac{3(x^3-x^2 y-xy^2+y^3)}{8}\)

Затем мы факторизуем
\(=\frac{3}{8}(x^2(x-y)+y^2(-x+y))=\)
\(=\frac{3}{8}(x^2(x-y)-y^2(x-y))=\)
\(=\frac{3}{8}(x-y)(x^2-y^2)=\)
\(=\frac{3}{8}(x-y)(x-y)(x+y)\)
\(=\frac{3}{8}(x-y)^2(x+y)>0\)

Таким образом, мы доказали, что выражение \(\frac{x^3+y^3}{2}-(\frac{x+y}{2})^3\) всегда положительно, следовательно, неравенство \((\frac{x+y}{2})^3 \leq \frac{x^3+y^3}{2}\) верно.