§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1009 — стр. 226

Мы начинаем с разложения данного неравенства:
\(\sqrt{(a+c)(b+d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd}\)
Затем мы возводим обе части неравенства в квадрат:
\((\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 = (a+c)(b+d) \\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2 = ab + 2\sqrt{abcd} + cd\)
Поскольку обе части содержат слагаемые \(ab + cd\), мы можем сравнить оставшиеся слагаемые.

Мы замечаем, что \(\sqrt{abcd} = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd}\). Таким образом, нам нужно доказать неравенство \(bc + ad \geq 2\sqrt{abcd}\).

Извлекая квадратный корень из обеих сторон неравенства, получаем \(\sqrt{(bc)(ad)} \geq \sqrt{2\sqrt{abcd}}\), что приводит к \(\sqrt{abcd} \geq \sqrt{abcd}\), что всегда верно.

Следовательно, мы доказываем, что \((a+c)(b+d) \geq (\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2\).

Таким образом, мы доказали исходное неравенство \(\sqrt{(a+c)(b+d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd}\).