§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1010 — стр. 226

Мы начинаем с разложения выражения \(\frac{3}{a+b+c}:\)
\(\frac{3}{a+b+c} = \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c}\)

Мы хотим доказать, что \(\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}\).

Поскольку нам дано, что \(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}\), \(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c}\), и \(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a}\), мы можем сложить эти неравенства:
\(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c}\)

Из вышесказанного мы видим, что сумма трех дробей в правой части неравенства больше, чем три дроби \(\frac{1}{a+b+c}\), поэтому:
\(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c}\)

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}\).

Неравенство успешно доказано.