§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1011 — стр. 227

Мы начинаем с формулы \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\), чтобы оценить каждое из корней:
\(\sqrt{4x+1} \leq \frac{4x+1+1}{2} ; \sqrt{4x+1} \leq \frac{4x+2}{2} ; \sqrt{4x+1} \leq 2x+1 \)
\(sqrt{4y+1} \leq \frac{4y+1+1}{2} ; \sqrt{4y+1} \leq \frac{4y+2}{2} ; \sqrt{4y+1} \leq 2y+1 \)
\(sqrt{4z+1} \leq \frac{4z+1+1}{2} ; \sqrt{4z+1} \leq \frac{4z+2}{2} ; \sqrt{4z+1} \leq 2z+1 \)

Далее мы суммируем полученные неравенства:
\(\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2x+1 + 2y+1 + 2z+1 \\\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2(x+y+z) + 3 \\\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 2(1) + 3\)

Таким образом, мы получаем \(\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 5\).

Следовательно, мы доказали неравенство \(\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \leq 5\).