§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1013 — стр. 227

Мы начинаем с задания параметров: \(x\) км/ч - намеченная скорость. Тогда скорость на пути из поселка в город равна \((x - 2)\) км/ч, а скорость из города в поселок равна \((x + 2)\) км/ч. Пусть \(y\) км - расстояние от поселка до города.

Теперь мы можем выразить время, которое потрачено на каждый участок пути: \(\frac{y}{x-2}\) для пути из поселка в город, \(\frac{y}{x+2}\) для пути из города в поселок. Общее время на путь равно \(\frac{y}{x-2} + \frac{y}{x+2} + \frac{1}{2}\) часа, где \(\frac{1}{2}\) часа - время на перерыв.

По плану путешественник должен был потратить \(\frac{y}{x} + \frac{y}{x} + \frac{1}{2}\) часа. Теперь сравним их:
\(\frac{y}{x-2} + \frac{y}{x+2} + \frac{1}{2} = \frac{y(x+2) + y(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2} =\)
\(= \frac{2xy}{x^2-4} + \frac{1}{2}\)
\(\frac{y}{x} + \frac{y}{x} + \frac{1}{2} = \frac{2y}{x} + \frac{1}{2}\)

Теперь мы сравниваем выражения \(\frac{2xy}{x^2-4}\) и \(\frac{2y}{x}\). После вычитания получаем \(\frac{2xy}{x^2-4} - \frac{2y}{x} = \frac{8y}{x(x^2-4)}\).

Поскольку \(x > 2\), то \(x(x^2-4) > 0\). Следовательно, \(\frac{8y}{x(x^2-4)} > 0\), что означает \(\frac{2xy}{x^2-4} - \frac{2y}{x} > 0\), а значит, \(\frac{2xy}{x^2-4} > \frac{2y}{x}\).

Таким образом, мы можем заключить, что путешественник не успеет.