§ 3. Произведение и частное дробей — 7. Преобразование рациональных выражений — 159 — стр. 43

Введение новой переменной:

Введем новую переменную \( b = a - 1 \). Это облегчит дальнейшие вычисления и упростит выражение.

Переписывание выражения:

Теперь \( a + 5=(a-1)+6= b + 6 \), а \( a - 7 =(a-1)-6= b - 6 \). Это позволяет переписать исходное выражение через новую переменную.

Выражение с новой переменной:

Переписываем исходное выражение, используя новую переменную \( b \). Получаем:

\((0.5 b^{2} - 18) (\frac{b + 6}{b - 6} + \frac{b - 6}{b + 6}) = \)

\(=\frac{b^{2} - 36}{2} \cdot \frac{(b + 6)^{2} + (b - 6)^{2}}{b^{2} - 36} = \)

\(=\frac{b^{2} + 12b + 36 + b^{2} - 12b + 36}{2} =\)

\(= b^{2} + 36 \geq 36\)

Это преобразование помогло упростить выражение и получить более компактную форму.

Минимальное значение:

Минимальное значение соответствует \( b = 0 \), что соответствует \( a = 1 \). Далее, проверим это значение.

Проверка минимального значения:

Подставляем \( b = 0 \) в исходное выражение:

\((0.5 \cdot 0^{2} - 18) (\frac{0 + 6}{0 - 6} + \frac{0 - 6}{0 + 6}) = \)

\(=(0 - 18) (\frac{6}{-6} + \frac{-6}{6}) = \)

\(=-18 \cdot (-1 + (-1)) = \)

\(=-18 \cdot (-2) = 36\)

Подставив \( b = 0 \), получаем значение 36, что подтверждает минимальность.