§ 3. Произведение и частное дробей — 7. Преобразование рациональных выражений — 160 — стр. 43

Мы начинаем с преобразования исходного выражения, выделяя общие квадраты и суммируя их:
\( \frac{81}{(0.5b+9)^2 + (0.5b-9)^2} = \frac{81}{(\frac{b+18}{2})^2 + (\frac{b-18}{2})^2}\)
Далее, мы упрощаем выражение, приводя числитель к общему знаменателю и сокращая его:
\( \frac{81 \cdot 4}{(b+18)^2 + (b-18)^2} = \frac{324}{b^2 + 36b + 324 + b^2 - 36b + 324}\)
После сокращения получаем:
\( \frac{324}{2(b^2 + 324)} = \frac{162}{b^2 + 324}\)
Мы замечаем, что знаменатель достигает минимума при \( b = 0 \), что делает выражение в числителе максимальным.
Подставляем \( b = 0 \) и получаем:
\( \frac{162}{0 + 324} = \frac{1}{2}\)
Таким образом, мы подтверждаем, что максимальное значение дроби равно \( \frac{1}{2} \), и оно достигается при \( b = 0 \).