§ 3. Произведение и частное дробей — 7. Преобразование рациональных выражений — 163 — стр. 43

Рассмотрим выражение:

$(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b})\cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}$

Произведем преобразования:

$=(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)})\cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}$

Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:

$=\frac{4ab+(a-b{)}^2}{2(a-b)}\cdot \frac{2a}{(a+b{)}^2}+\frac{b}{b-a}$

Продолжаем упрощать:

$=\frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{(a-b)}\cdot \frac{a}{(a+b{)}^2}-\frac{b}{a-b}$

$=\frac{a^2+2ab+b^2}{(a-b)}\cdot \frac{a}{(a+b{)}^2}-\frac{b}{a-b}=\frac{(a+b{)}^2}{(a-b)}\cdot \frac{a}{(a+b{)}^2}-\frac{b}{a-b}=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1$

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно 1.

Рассмотрим выражение:

$\frac{y}{x-y}-\frac{x^3-x{y}^2}{x^2+y^2}\cdot (\frac{x}{(x-y{)}^2}-\frac{y}{x^2-y^2})$

Произведем преобразования:

$=\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\cdot (\frac{x}{(x-y{)}^2}-\frac{y}{x^2-y^2})$

Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:

$=\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot \frac{(x(x+y)-y(x-y))}{(x-y{)}^2(x+y)}$

Продолжаем упрощать:

$=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x^2+y^2}\cdot \frac{(x^2+xy-xy+y^2)}{(x-y)}$

$=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y}=-1$

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно -1.