§ 3. Произведение и частное дробей — 7. Преобразование рациональных выражений — 163 — стр. 43

Рассмотрим выражение:

\( (\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2a+2b}) \cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)

Произведем преобразования:

\( = (\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}) \cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)

Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:

\( = \frac{4ab+(a-b)^{2}}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{(a+b)^{2}}+\frac{b}{b-a}\)

Продолжаем упрощать:

\( = \frac{4ab+a^{2}-2ab+b^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b}\)

\( = \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b} = \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} = 1\)

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно 1.

Рассмотрим выражение:

\( \frac{y}{x-y}-\frac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\)

Произведем преобразования:

\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\)

Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:

\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{(x(x+y)-y(x-y))}{(x-y)^{2}(x+y)}\)

Продолжаем упрощать:

\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{(x^{2}+xy-xy+y^{2})}{(x-y)}\)

\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y} = -1\)

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно -1.