Вертикаль
2016
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
а) \((\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2 a+2 b}) \cdot \frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\);
б) \(\frac{y}{x-y}-\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\).
а
Рассмотрим выражение:
\( (\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2a+2b}) \cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)
Произведем преобразования:
\( = (\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}) \cdot \frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)
Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:
\( = \frac{4ab+(a-b)^{2}}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{(a+b)^{2}}+\frac{b}{b-a}\)
Продолжаем упрощать:
\( = \frac{4ab+a^{2}-2ab+b^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b}\)
\( = \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b} = \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)} \cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}-\frac{b}{a-b} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} = 1\)
Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно 1.
б
Рассмотрим выражение:
\( \frac{y}{x-y}-\frac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\)
Произведем преобразования:
\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\)
Далее, мы упрощаем выражение и сокращаем:
\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{(x(x+y)-y(x-y))}{(x-y)^{2}(x+y)}\)
Продолжаем упрощать:
\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{(x^{2}+xy-xy+y^{2})}{(x-y)}\)
\( = \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y} = -1\)
Таким образом, мы доказали, что исходное выражение равно -1.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных: а) \((\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2 a+2 b}) \cdot \frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\); б) \(\frac{y}{x-y}-\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}})\).
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
