§ 3. Произведение и частное дробей — 9. Представление дроби в виде суммы дробей — 202 — стр. 55

Мы начинаем с выражения суммы дробей:
\(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{a}{x+4} + \frac{b}{x-2}\)
Далее, приводим обе стороны к общему знаменателю и сравниваем числители:
\(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x+4)}{(x+4)(x-2)}\)
Отсюда мы получаем уравнение:
\(5x-1 = (a+b)x + (-2a+4b)\)
Из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях \(x\) получаем систему уравнений:
\(\begin{cases}a+b = 5 \\-2a+4b = -1\end{cases}\)
Решаем эту систему уравнений и находим значения \(a\) и \(b\):
\(\begin{cases}2a+2b = 10 \\-2a+4b = -1\end{cases}\)
Откуда \(6b = 9\) и \(b = 1.5\), а затем \(a = 5 - b = 5 - 1.5 = 3.5\).
Таким образом, мы нашли коэффициенты \(a\) и \(b\), и искомая сумма выглядит:
\(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{3.5}{x+4} + \frac{1.5}{x-2}\).