§ 3. Произведение и частное дробей — 9. Представление дроби в виде суммы дробей — 208 — стр. 55

Начнем с выделения целой части в дроби:
\(\frac{5a^{2}+6}{a^{2}+1} = \frac{5(a^{2}+1)+1}{a^{2}+1} = 5 + \frac{1}{a^{2}+1}\)
Отметим, что дробь с числителем 1 будет целой только при знаменателе \(\pm 1\). Однако, так как \(a^{2}+1 \geq 1\) для всех \(a \in \mathbb{Z}\), единственное значение \(a^{2}+1=1\) соответствует \(a=0\).
Таким образом, заключим, что при \(a = 0\) дробь будет целой, а при всех остальных целых \(a\) дробь не будет целым числом.