§ 3. Произведение и частное дробей — 9. Представление дроби в виде суммы дробей — 209 — стр. 55

Имеем: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}\)

Начнем с выражения \(b\) через \(a\):
\(\frac{1}{b} = \frac{1}{7} -\frac{1}{a}= \frac{a-7}{7a}\)
\(b=\frac{7a}{a-7}\)

Выделим его целую часть:
\(b=\frac{7(a-7)+49}{a-7}=7 + \frac{49}{a-7}\)

Затем отметим, что дробь \(\frac{49}{a-7}\) будет целой только при значениях \(a-7 = \pm 1, \pm 7, \pm 49\). Из этого следует, что \(a = \{-42, 0, 6, 8, 14, 56\}\). Поскольку \(a \in \mathbb{N}\), отбрасываем негативные значения, и \(a\) должно быть положительным.

Таким образом, остаются только значения \(a = \{6, 8, 14, 56\}\). Отметим, что \(b\) также должно быть натуральным числом, что приводит к отбрасыванию \(a = 6\), так как в этом случае \(b\) не будет натуральным.

В конечном итоге, \(a = \{8, 14, 56\}\), тогда \(b={56,14,8}\) соответственно.