§ 4. Арифметический квадратный корень — 10. Действительные числа — 284 — стр. 69

У нас есть два рациональных числа \(a\) и \(b\), представленных в виде дробей с целыми числителями и натуральными знаменателями. Это выражается следующим образом:
\(a^2 = \frac{m}{n}, \quad b^2 = \frac{p}{q}, \quad a - b = \frac{r}{s} \\m, p, r \in \mathbb{Z}; \quad n, q, s \in \mathbb{N}\)
Затем мы выразили сумму \(a+b\) через эти дроби и показали, что полученное выражение также является рациональным числом. Добавим комментарии к этому шагу:
\(a+b = \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}{\frac{r}{s}} = (\frac{m q - p n}{nq})\cdot \frac{s}{r}=\frac{(m q - p n) s}{nqr}\)
Отметим, что разность и произведение целых чисел также являются целыми числами. При этом подчеркнем, что знаменатель не равен нулю, что гарантирует корректность выражения. Также укажем, что если знаменатель отрицателен, его можно "перебросить" на числитель с сохранением знака. В итоге получаем, что \(a+b\) представляет собой дробь с целым числителем и натуральным знаменателем, что делает его рациональным числом.

Таким образом, \(a+b \in \mathbb{Q}\) - является рациональным числом.