§ 5. Свойства арифметического квадратного корня — 15. Квадратный корень из произведения и дроби — 374 — стр. 89

Дано уравнение $\sqrt{n^2-75}=k$, где $k\in \mathbb{N}$.

Мы начинаем с квадратного уравнения $n^2-75=k^2$, которое переписываем в виде $n^2-k^2=75$. Это позволяет нам применить разность квадратов и переписать уравнение как $(n-k)(n+k)=75$, где $n-k\in \mathbb{N}$ и $n+k\in \mathbb{N}$.

Разложим число 75 на простые множители: $75=1\times 3\times 5\times 5$.

Обратим внимание, что $n-k<n+k$. Это позволяет нам сформулировать три набора систем уравнений:

1. $n-k=1$, $n+k=75$
2. $n-k=3$, $n+k=25$
3. $n-k=5$, $n+k=15$

Решая каждую из этих систем, мы получаем три пары ответов:

1. $n=38$, $k=37$
2. $n=14$, $k=11$
3. $n=10$, $k=5$

Таким образом, мы находим три набора значений $n$ и $k$, удовлетворяющих условию. Мы можем представить этот результат в виде таблицы для более наглядного представления.

Таким образом, ответ: $\{10,14,38\}$.