§ 5. Свойства арифметического квадратного корня — 15. Квадратный корень из произведения и дроби — 374 — стр. 89

Дано уравнение \(\sqrt{n^2 - 75} = k\), где \(k \in \mathbb{N}\).

Мы начинаем с квадратного уравнения \(n^2 - 75 = k^2\), которое переписываем в виде \(n^2 - k^2 = 75\). Это позволяет нам применить разность квадратов и переписать уравнение как \((n - k)(n + k) = 75\), где \(n - k \in \mathbb{N}\) и \(n + k \in \mathbb{N}\).

Разложим число 75 на простые множители: \(75 = 1 \times 3 \times 5 \times 5\).

Обратим внимание, что \(n - k < n + k\). Это позволяет нам сформулировать три набора систем уравнений:

1. \(n - k = 1\), \(n + k = 75\)
2. \(n - k = 3\), \(n + k = 25\)
3. \(n - k = 5\), \(n + k = 15\)

Решая каждую из этих систем, мы получаем три пары ответов:

1. \(n = 38\), \(k = 37\)
2. \(n = 14\), \(k = 11\)
3. \(n = 10\), \(k = 5\)

Таким образом, мы находим три набора значений \(n\) и \(k\), удовлетворяющих условию. Мы можем представить этот результат в виде таблицы для более наглядного представления.

Таким образом, ответ: \(\{10, 14, 38\}\).