§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня — 411 — стр. 98

Для треугольника со сторонами \(12 \mathrm{~cm}, 16 \mathrm{~cm}, 24 \mathrm{~cm}\) вычисляем полупериметр:

\(p=\frac{12+16+24}{2}=26 \mathrm{~cm}\)

Затем, используя формулу Герона, вычисляем площадь:

\(S=\sqrt{26 \cdot(26-12)(26-16)(26-24)}=\sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2} \approx 85,32 \mathrm{~cm}^{2}\).

Для треугольника со сторонами \(18 \mathrm{~cm}, 22 \mathrm{~cm}, 26 \mathrm{~cm}\) аналогично вычисляем полупериметр:

\(p=\frac{18+22+26}{2}=33 \mathrm{~cm}\)

Затем, снова используя формулу Герона, вычисляем площадь:

\(S=\sqrt{33 \cdot(33-18)(33-22)(33-26)}=\sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7} \approx 195,23 \mathrm{~cm}^{2}\)

Гипотеза: Площадь пропорциональна квадрату длины стороны. Если длины сторон увеличить в 2 раза, площадь увеличится в \(2^{2}=4\) раза.

Теперь проверим эту гипотезу:

Для треугольника со сторонами \(a, b, c:\)

\(S_{1}=\sqrt{p_{1}(p_{1}-a)(p_{1}-b)(p_{1}-c)}\)

Для треугольника со сторонами \(2 a, 2 b, 2 c:\)

\(S_{2}=\sqrt{p_{2}(p_{2}-2 a)(p_{2}-2 b)(p_{2}-2 c)}\)

Сравнивая \(S_{1}\) и \(S_{2}\), мы получаем:

\(S_{2}=4 S_{1}\)

Таким образом, площадь увеличивается в 4 раза, подтверждая гипотезу.